09

อะตอมแห่งโลกจำนวน

ริชาร์ด ไฟน์แมน (Richard Feynman) นักฟิสิกส์อัจฉริยะผู้สร้างทฤษฎีควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (Quantum Electrodynamics) เคยกล่าวไว้ทำนองว่า "หากอารยธรรมโลกต้องสูญสลายไปด้วยสงครามที่รุนแรง จนส่งผลให้ความรู้ทางวิทยาศาสตร์ที่มนุษยชาติสั่งสมมาหายไปจนหมดสิ้น แต่ถ้าเราสามารถเลือกส่งข้อความไปยังมนุษย์รุ่นถัดไปได้เรื่องหนึ่ง เราจะส่งความรู้เรื่องใดไป?"

ไฟน์แมนเชื่อว่า สมมติฐานเรื่องอะตอมสำคัญที่สุดและสมควรได้รับการบอกเล่าส่งต่อ

ในโลกแห่งเคมีและวัสดุ การเข้าใจธรรมชาติของอะตอมซึ่งเป็นหน่วยย่อยที่สุดของสสารต่างๆ นั้นสำคัญอย่างยิ่ง เพราะทำให้นักวิทยาศาสตร์เข้าใจว่าสมบัติต่างๆ ของสสารนั้นเกิดจากอะไร ทำให้พวกเขาสามารถสังเคราะห์สสารขึ้นมาได้อย่างเที่ยงตรงซ้ำแล้วซ้ำเล่าเท่าที่ต้องการ หรือแม้แต่ช่วยออกแบบวัสดุให้มีคุณสมบัติตามที่ต้องการได้

ตารางธาตุ (periodic table) ที่นักเรียนท่องจำกันจึงเป็นเหมือนแคตาล็อกที่ทำให้นักเคมีรู้ว่ามีชิ้นส่วนอะไรให้นำมาประกอบสร้างสรรค์วัสดุได้ หากปราศจากซึ่งตารางธาตุที่ครบถ้วนสมบูรณ์ นักเคมีก็อาจมีสภาพไม่ต่างจากนักภาษาศาสตร์ที่รู้พยัญชนะของภาษาหนึ่งไม่ครบถ้วน

โชคดีที่โลกแห่งเคมีได้ค้นพบธาตุครบถ้วนแล้ว (ธาตุที่หนักเกินกว่าธาตุในตารางธาตุเป็นพวกธาตุกัมมันตรังสีที่สลายตัวจนแทบไม่เหลือให้พบเห็นรอบตัวแล้ว)

แต่โลกของจำนวนเต็มนั้นเป็นอีกเรื่อง

.

จำนวนเฉพาะ (prime number) คือจำนวนเต็มที่มีแค่ 1 และตัวมันเท่านั้นที่หารได้ลงตัว เช่น 17 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมีแค่ 1 และ 17 เท่านั้นที่หารได้ลงตัว แต่ 20 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เป็นจำนวนประกอบ เพราะมีจำนวนเต็มอื่นๆ ที่สามารถหารได้ลงตัว ได้แก่ 2, 4, 5, 10

จำนวนเฉพาะจึงเหมือนอะตอมในโลกแห่งจำนวนเต็มที่สร้างจำนวนเต็มอื่นๆ ขึ้นมาทั้งหมด แต่ธรรมชาติของจำนวนเฉพาะนั้นลึกลับเอาการ

ย้อนกลับไปเกือบสองร้อยปีก่อน ค.ศ.1826 เด็กชายคนหนึ่งถือกำเนิดขึ้นมาในหมู่บ้านเล็กๆ ชื่อ Breselenz ในประเทศเยอรมัน เขาเติบโตมาเป็นเด็กชายผู้เงียบขรึม ขี้อาย และสุขภาพไม่สู้ดีนัก แต่พอเข้าโรงเรียนก็มีพรสวรรค์ด้านหนึ่งเปล่งประกายออกมา นั่นคือ ความสามารถด้านคณิตศาสตร์

เด็กน้อยคนนี้ส่งงานช้าเป็นประจำ เนื่องจากเขาเป็นพวกนิยมความสมบูรณ์แบบและชอบคิดอะไรด้วยตัวเองโดยไม่ไถ่ถามใคร

ต่อมาเมื่อเข้ามหาวิทยาลัย เขาเรียนด้านคณิตศาสตร์จนจบปริญญาเอก โดยมีอาจารย์ที่ปรึกษาเป็นสุดยอดนักคณิตศาสตร์โลกคือ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss)

ชายผู้นี้มีนามว่า แบร์นฮาร์ด รีมันน์ (Bernhard Riemann) ผู้ที่ต่อมาได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้มีผลงานกระหึ่มโลกทั้งในด้าน

- การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Analysis) เช่น นิยามที่ชัดเจนของการอินทิเกรตแบบจำกัดเขต (Riemann Integral) ซึ่งทุกวันนี้เราเรียนกันตั้งแต่ปี 1 ในวิชาแคลคูลัส

- เรขาคณิตแบบรีมันน์ (Riemannian Geometry) ซึ่ง อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ นำไปใช้สร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

- ทฤษฎีจำนวน (Number Theory)

ผลงานในหมวดหมู่เรื่องทฤษฎีจำนวนนี้เองที่นำมาสู่การถือกำเนิดของปัญหาข้อหนึ่งที่ยากที่สุดในโลกคณิตศาสตร์ที่มีนามว่า 'สมมติฐานของรีมันน์ (Riemann Hypothesis)' ในปี ค.ศ.1859

ปัญหาข้อนี้สำคัญต่อโลกคณิตศาสตร์อย่างมาก เพราะมันสัมพันธ์อย่างแนบแน่นกับธรรมชาติของจำนวนเฉพาะซึ่งเป็นอะตอมแห่งโลกจำนวนเต็ม

นักคณิตศาสตร์มากมายพยายามแก้ปัญหานี้มาตลอด แต่ก็ยังแก้ไม่ได้เสียที

ค.ศ. 2000 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) ได้ประกาศปัญหาสำคัญในโลกคณิตศาสตร์ 7 ข้อ ซึ่งผู้ใดที่แก้ปัญหาได้จะได้รับเงินรางวัลหนึ่งล้านเหรียญสหรัฐฯ ต่อปัญหาหนึ่งข้อ (Millennium Prize Problems)

หนึ่งในนั้นคือ สมมติฐานของรีมันน์ (Riemann hypothesis)

ซึ่งการพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์สามารถอ่านได้จากส่วนอธิบายเพิ่มเติม

แต่นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าหากพิสูจน์ปัญหานี้ได้จะทำให้โครงสร้างการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะที่เป็นปริศนามาตลอดถูกคลี่คลาย ซึ่งหลายคนเชื่อว่ามันจะนำมาซึ่งการปฏิวัติขนานใหญ่เกี่ยวกับโลกคณิตศาสตร์และเทคโนโลยีการเข้ารหัส

อย่างไรก็ตาม ในตอนนี้นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกต่างพยายามเต็มที่เพื่อแก้ปัญหานี้ แต่ไม่มีใครรู้เลยว่าเราเข้าใกล้คำตอบแค่ไหน

บางทีความพยายามโดยไม่รู้ว่าปลายทางอยู่ตรงไหนนั้นอาจเป็นปัญหาที่แท้จริงของมนุษย์เราทุกคนก็ได้


อธิบายเพิ่มเติม

สมมติฐานของรีมันน์สามารถทำความเข้าใจได้ไม่ยาก โดยเริ่มจาก

เรียกว่า ฟังชันก์เซตาของรีมันน์ (Riemann zeta function) โดยที่ s เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชันดังกล่าวจะมีค่าเปลี่ยนไป ขึ้นอยู่กับว่า s มีค่าเท่าใด

คำถามคือ s ต้องมีค่าเท่าใดจึงจะทำให้ฟังก์ชันนี้มีค่าเป็น 0

คำตอบแบ่งออกเป็นสองส่วนคือ

1. s มีค่าเป็นจำนวนติดลบคู่ เช่น -2, -4, -6, -8, … ซึ่งไม่น่าสนใจเพราะนักคณิตศาสตร์เห็นปุ๊บก็รู้ได้ทันที

2. รีมันน์เชื่อว่าค่า s อื่นๆ ที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าเป็น 0 นั้นสามารถเขียนได้ในรูป s = ½+ti เท่านั้น โดยที่ t นั้นมีได้หลายค่า

ส่วนความเชื่อมโยงกับจำนวนเฉพาะนั้นค่อนข้างซับซ้อนและมีมากมายหลายทาง หนึ่งในนั้นคือการเชื่อมโยงผ่านผลคูณของออยเลอร์ กล่าวคือ รีมันน์ซีตาฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณที่มีจำนวนเฉพาะประกอบอยู่ในนั้นได้ดังนี้

อาจวรงค์ จันทมาศ

เจ้าหน้าที่สถาบันวิจัยดาราศาสตร์แห่งชาติ (องค์การมหาชน) ผู้ใช้เวลาว่างในการสื่อสารวิทยาศาสตร์ด้วยการบรรยายและเขียนอยู่เสมอ โด่งดังจากการเป็นแฟนพันธุ์แท้นักวิทยาศาสตร์เอกของโลก มีผลงานพ็อกเก็ตบุ๊ก จริงตนาการ และ ดอกไม้ไฟในเอกภพ เขายังเป็นพิธีกรรายการแนววิทยาศาสตร์ จัดรายการวิทยุออนไลน์ Witcast เล่าเรื่องวิทยาศาสตร์แนวตลกโปกฮาร่วมกับ แทนไท ประเสริฐกุล และอัพเดทเรื่องสนุกๆ ในสายตาเด็กวิทย์เป็นประจำ

related post